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[主观题]

设A=（aij)n×n，B（bij)n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=（aijbij)n×n也是正定矩阵.设A=(a_ij)_n×n，B(b_ij)_n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=(a_ijb_ij)_n×n也是正定矩阵.

答案

参考答案：证首先，由C的(j，i)元素=a_jib_ji=a_ijb_ij=C的(i，j)元素，知C为对称矩阵.
由B正定，存在可逆矩阵M=(m_ij)_n×n，使得B=M^TM，即(i，j=1，2，…，n).对于x=(x₁，x₂，…，x_n)T≠0，有

其中
yk=(m_k1x₁，m_k2x₂，…，m_knx_n)^T
为矩阵
(5-21)
的第k列(k=1，2，…，n).由于x1，x2，…，xn不全为零及M^T可逆，所以(5-21)式中的矩阵不是零矩阵，因而它至少有一列向量yi≠0，注意A为正定矩阵，故有，而当k≠i时，有，故当x≠0时，有

所以C为正定矩阵.本题证明的思路，是将二次型x^TCx写成n个以A为矩阵的二次型(k=1，2，…，n)之和，由A正定知对任意y_k有，若j_i≠0，则有，于是再证当x≠0时，至少有-y_i≠0，从而得x^TAx＞0.

参考解析：参考正定矩阵证明的方法。

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第1题

设A=（aij)n×n，B（bij)n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=（aijbij)n×n也是正定矩阵.

设A=(a_ij)_n×n，B(b_ij)_n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=(a_ijb_ij)_n×n也是正定矩阵.

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第2题

设A=（aij)n×n，B（bij)n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=（aijbij)n×n也是正定矩阵.

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第3题

设A=（a_ij)_sn，B=（b_ij)_nm，证明：秩（AB)≥秩（A)+秩（B)-n。

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第4题

设A=（aij)为n阶矩阵，称A的主对角线上所有元的和为A的迹，记作trA，即，证明：对任意n阶矩阵A=（bij)和B=（bij)，tr

设A=(a_ij)为n阶矩阵，称A的主对角线上所有元的和为A的迹，记作trA，证明：对任意n阶矩阵A=(b_ij)和B=(b_ij)，tr(AB)=tr(BA)。

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第5题

设A=(a_ij)与B=(b_ij)都是n阶正定(半正定)矩阵，令C=(a_ij+b_ij),证明:C也是正定(半正定)矩阵

设A=（a_ij)与B=（b_ij)都是n阶正定（半正定)矩阵，令C=（a_ij+b_ij),证明:C也是正定（半正定)矩阵

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第6题

用I_m表示分量全为1的n维列向量(即元素全为1的nX1矩阵)。设A=(a_ij)sxm，B=(b_ij)nxm。

用I_m表示分量全为1的n维列向量（即元素全为1的nX1矩阵)。设A=（a_ij)sxm，B=（b_ij)nxm。

计算用Im表示分量全为1的n维列向量（即元素全为1的nX1矩阵)。设A=（aij)sxm，B=（bij)

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第7题

若A=（aij)m×m，B=（bij)n×n，且|A|=|B|，则A=B．（)

若A=(a_ij)_m×m，B=(b_ij)_n×n，且|A|=|B|，则A=B．( )

参考答案：错误

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第8题

已知A=（aij)n×n，B=（bij)n×n，且A，B均可逆，又（i，j=1，2，…，n)，证明B=E-2（2E+A)-1（其中E为n阶单位矩阵)．

已知A=(a_ij)_n×n，B=(b_ij)_n×n，且A，B均可逆，又

$已知A=（aij)n×n，B=（bij)n×n，且A，B均可逆，又（i，j=1，2，…，n)，$ (i，j=1，2，…，n)，

证明B=E-2(2E+A)^-1(其中E为n阶单位矩阵)．

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第9题

若矩阵A=（aij)m×l，B=（bij)l×n，C=（cij)n×m，则下列运算中（)无意义．（a)ABC （b)BCA （c)A+BC （d)AT+BC

若矩阵A=(a_ij)_m×l，B=(b_ij)_l×n，C=(c_ij)_n×m，则下列运算中( )无意义．

(a)ABC (b)BCA

(c)A+BC (d)A^T+BC

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第10题

已知A=（aij)n×n，B=（bij)n×n，且A，B均可逆，又 2bij=aij-bikakj（i，j=1，2，…，n)证明B=E-2（2E+A)-1（其中E为n阶单

已知A=(a_ij)_n×n，B=(b_ij)_n×n，且A，B均可逆，又

2b_ij=a_ij- $已知A=（aij)n×n，B=（bij)n×n，且A，B均可逆，又 2bij=aij-bikakj$ b_ika_kj(i，j=1，2，…，n)证明B=E-2(2E+A)^-1(其中E为n阶单位矩阵)．

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第11题

已知A=(a_ij)_mxn，B=(b_ij)_mxn，且A，B均可逆，又。证明B=E-2(2E+A)^-1(其中E为

已知A=（a_ij)_mxn，B=（b_ij)_mxn，且A，B均可逆，又。证明B=E-2（2E+A)^-1（其中E为

已知A=(a_ij)_mxn，B=(b_ij)_mxn，且A，B均可逆，又已知A=（aij)mxn，B=（bij)mxn，且A，B均可逆，又。证明B=E-2（2E+A)-1（。证明B=E-2(2E+A)^-1(其中E为n阶单位矩阵).。

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