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[主观题]

证明：求（a＞0)的牛顿迭代公式（k=0，1，2，…) 对任意初始值x0＞0均收敛．

证明：求 $证明：求（a＞0)的牛顿迭代公式（k=0，1，2，…) 对任意初始值x0＞0均收敛．证明：求$ (a＞0)的牛顿迭代公式

$证明：求（a＞0)的牛顿迭代公式（k=0，1，2，…) 对任意初始值x0＞0均收敛．证明：求$ (k=0，1，2，…)

对任意初始值x₀＞0均收敛．

答案

证法1 用极限方法证明{x_k}收敛性．
因为a＞0，x₀＞0，而

(k=0，1，2，…)，所以x_k＞0(k=0，1，2，…)．于是对一切的k(k=0，1，2，…)有

即有

(k=1，2，…)，进而又有

(k=1，2，…)，
即 x_k+1≤x_k (k=1，2，…)，
故{x_k}₁^∞单调递减有下界

．根据单调有界原理知，{x_k}对任意初始值．x₀＞0均收敛，易证其极限为

，即牛顿法

(k=0，1，2，…)
对任意初始值x₀＞0均收敛于

证法2 利用牛顿法的收敛条件证明{x_k}收敛性．
设f(x)=x²-a，x∈(0，+∞)，则f(0)=-a＜0，f(+∞)＞0，且f'(x)=2x＞0，所以方程f(x)=0在(0，+∞)内有惟一根

．又f"(x)=2＞0，故当

时，有
f(x₀)·f"(x₀)=(x₀²-a)·2＞0，
因此由定理3知，当

时，牛顿法迭代公式

(k=0，1，2，…)
收敛；当

时，由

知，从x₁起，计算又回到上述

的情形，因此当

时，牛顿法也收敛；当

时，牛顿法必收敛．
综上所述，对任意初始值x₀＞0，牛顿法迭代公式

(k=0，1，2，…)
均收敛于

求

(a＞0)可以转化为求方程x²-a=0的正根．此时应用牛顿法即可得到迭代公式

(k=0，1，2，…)．要证明该迭代过程对任意初始值x₀＞0均收敛，可有两种方法：第一种是利用证明序列{x_k}的极限存在来得到迭代法的收敛性；第二种是利用牛顿法的收敛条件来检验其收敛性．下面分别给出这两种证法．

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第2题

应用牛顿法于方程f（x)=xn－a=0和，分别导出求的迭代公式，并求

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第3题

应用牛顿法于方程 f（x)=xn-a=0 （2.25) 和，（2.26) 分别导出求的迭代公式，并求极限，其中．

应用牛顿法于方程

f(x)=xⁿ-a=0 (2.25)

和

$应用牛顿法于方程 f（x)=xn-a=0 （2.25) 和，（2.26) 分别导出求的迭$ ， (2.26)

分别导出求 $应用牛顿法于方程 f（x)=xn-a=0 （2.25) 和，（2.26) 分别导出求的迭$ 的迭代公式，并求极限 $应用牛顿法于方程 f（x)=xn-a=0 （2.25) 和，（2.26) 分别导出求的迭$ ，其中 $应用牛顿法于方程 f（x)=xn-a=0 （2.25) 和，（2.26) 分别导出求的迭$ ．

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第4题

写出用牛顿迭代法求方程xm－a=0的根的迭代公式（其中a＞0)，并计算（精确至4位有效数字)。分析在什么范

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第5题

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第6题

设a∈（0，1)，考虑方程f（x)=x+x1+α=0，证明求解该方程的牛顿法产生的迭代序列（)是收敛的．求β使得

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第7题

研究求的牛顿公式.证明对一切k=1,2..,x_k≥ 且序列工x₁,x₂是递减的..

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第8题

下列说法错误的是（）。

A.牛顿迭代公式其实就是函数 f(x)的泰勒级数的前两项。

B.牛顿迭代法的实质就是用f(x)的切线代替曲线f(x)与x轴求交点。

C.牛顿迭代法的优点就是收敛速度快，并且可以求复根。

D.使用牛顿迭代法求方程f(x)=0的根，要求函数f(x)的一阶导数存在，并且不能为0。

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第9题

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用牛顿法求F(x)=0的根也是一种迭代法，它的迭代函数是什么？如果在零点用牛顿法求F（x)=0的根也是一种迭代法，它的迭代函数是什么？如果在零点附近足够光滑，且，试求用附近足够光滑，且，试求出迭代函数的一阶导数在的值，然后利用定理2给出牛顿法的收敛定理，并且证明此时定理2中的常数L可以取成任意的正数。

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第10题

求下列方程的实根：（1)x2－3x＋2ex=0; （2)x3＋2x2＋10x－20=0．要求：（1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收

求下列方程的实根：

(1)x²-3x+2e^x=0;

(2)x³+2x²+10x-20=0．

要求：(1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用斯特芬森加速迭代，计算到|x_k-x_k-1|＜10^-8为止．(2)用牛顿迭代，同样计算到|x_k-x_k-1|＜10^-8，输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k，比较方法的优劣

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第11题

设有方程组Ax=b，其中A为对称正定阵，迭代公式 xk＋1=x（k)＋ω（b－Ax（k))（k=0,1,2，…),试证明当时上述迭代法收敛（

设有方程组Ax=b，其中A为对称正定阵，迭代公式

x^k+1=x^(k)+ω(b-Ax^(k))(k=0,1,2，…),试证明当0＜ω＜2/β时上述迭代法收敛(其中0＜α≤λ(A)≤β)．

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证明：求（a＞0)的牛顿迭代公式 （k=0，1，2，…) 对任意初始值x0＞0均收敛．

证明：求（a＞0)的牛顿迭代公式（k=0，1，2，…) 对任意初始值x0＞0均收敛．