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[主观题]

设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t)≠0．证明（5.15)经变换（i=1，2，…，n-1)，

设方程组(5.15)有一个非零解x(t)=(φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_n(t))^T，其中φ_n(t)≠0．证明(5.15)经变换

$设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t$ (i=1，2，…，n-1)， $设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t$

可化为关于n-1个未知函数y₁，y₂，…，y_n-1．的线性方程组，它只含n-1个方程，且不含y_n．

答案

由

，利用变换知y_i=x_i-φ_iy_n(i=1，2，…，n-1)，x_n=φ_ny_n，对i=n有

而对i=1，2，…，n-1，有

即得不含y_n的关于n-1个未知函数y₁，y₂，…，y_n-1的n-1个方程的线性方程组

，i=1，2，…，n-1

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第1题

设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t)≠0．证明（5.15)经变换（i=1，2，…，n-1)，

设方程组(5.15)有一个非零解x(t)=(φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_n(t))^T，其中φ_n(t)≠0．证明(5.15)经变换

可化为关于n-1个未知函数y₁，y₂，…，y_n-1．的线性方程组，它只含n-1个方程，且不含y_n．

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第2题

设x（0)=（x1（0)，x2（0)，…，xn（0))T是方程组Ax=b的一个解．则x（0)是基解的充要条件是：x（0)的非零分量xi1（0)，xi2（

设x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾，x₂⁽⁰⁾，…，x_n⁽⁰⁾)T是方程组Ax=b的一个解．则x⁽⁰⁾是基解的充要条件是：x⁽⁰⁾的非零分量x_i₁⁽⁰⁾，x_i₂⁽⁰⁾，…，x_{i_r}⁽⁰⁾所对应的系数列向量p_i₁，p_i₂，…，p_{i_r}线性无关．

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第3题

设A是一个n阶方阵且方程组Ax=0有非零解，则|A|=0 。（)

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第4题

设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都是方程组的解，则t等于（)。

设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都是方程组

设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都是方程组的解，则t等于（)。设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都的解，则t等于()。

A．0

B．2

C．-1

D．1

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第5题

试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 x'=A（t)x+f1（t)，x'=A（t)x+f2（t

试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：

设x₁(t)，x₂(t)分别是方程组

x'=A(t)x+f₁(t)，x'=A(t)x+f₂(t)

的解．则x₁(t)+x₂(t)是方程组

x'=A(t)x+f₁(t)+f₂(t)

的解．

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第6题

试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 ① ② 的解，则x（t)=x1（t)+x2（t)是方程

试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x₁(t)，x₂(t)分别是方程组

$试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 ① ② 的解，则$ ①

$试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 ① ② 的解，则$ ②

的解，则x(t)=x₁(t)+x₂(t)是方程组 $试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 ① ② 的解，则$ ③的解。

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第7题

在方程组中，设A为常数值矩阵，函数R(t，x)在区域证明若相应的齐次线性方程组的所有解当t≥t₀

在方程组中，设A为常数值矩阵，函数R（t，x)在区域证明若相应的齐次线性方程组的所有解当t≥t₀

在方程组

在方程组中，设A为常数值矩阵，函数R（t，x)在区域证明若相应的齐次线性方程组的所有解当t≥t0在方

中，设A为常数值矩阵，函数R(t，x)在区域

在方程组中，设A为常数值矩阵，函数R（t，x)在区域证明若相应的齐次线性方程组的所有解当t≥t0在方

证明若相应的齐次线性方程组的所有解当t≥t₀时有界，则所给方程组的零解是稳定的.

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第8题

试证非齐次线性方程（1)满足初值条件x（t0)=x0的解的唯一性等价于齐次方程组（2)满足初值条件x（t0)=0的零解的

试证非齐次线性方程(1)满足初值条件x(t₀)=x₀的解的唯一性等价于齐次方程组(2)满足初值条件x(t₀)=0的零解的唯一性

$试证非齐次线性方程（1)满足初值条件x（t0)=x0的解的唯一性等价于齐次方程组（2)满足初值条件x$ ①

$试证非齐次线性方程（1)满足初值条件x（t0)=x0的解的唯一性等价于齐次方程组（2)满足初值条件x$ ②

其中A(t)为n阶方阵，x、x₀为n维列向量

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第9题

给定方程组x'（t)=A（t)x（t)， ① 这里A（t)是[a，b]上的连续n×n,函数矩阵。设Φ（t)是①的一个基解矩阵，n维向

给定方程组x'(t)=A(t)x(t)， ①

这里A(t)是[a，b]上的连续n×n,函数矩阵。设Φ(t)是①的一个基解矩阵，n维向量函数F(t，x)在R：a≤t≤b，‖x‖＜∞上连续，t₀∈[a，b]。试证明：初值问题

$给定方程组x'（t)=A（t)x（t)， ① 这里A（t)是[a，b]上的连续n×n,函$ ②

的唯一解ψ(t)是积分方程组

x(t)=Φ(t)Φ^-1(t₀)η+∫_t₀^tΦ(t)Φ^-1(s)F(s，x(s))ds ②

的连续解。反之，②的解也是初值问题②的解。

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第10题

若X（t)是齐次线性微分方程组，x∈Rn的任一基解矩阵，B是任一n阶非奇异常数矩阵，证明X（t)B也是此方程组的一个基

若X(t)是齐次线性微分方程组 $若X（t)是齐次线性微分方程组，x∈Rn的任一基解矩阵，B是任一n阶非奇异常数矩阵，证明X（t)B也$ ，x∈Rⁿ的任一基解矩阵，B是任一n阶非奇异常数矩阵，证明X(t)B也是此方程组的一个基解矩阵。

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第11题

设λ=0是n阶方阵A的特征值，则方程组Ax=0有非零解。（)

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设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t)≠0． 证明（5.15)经变换 （i=1，2，…，n-1)，

设方程组（5.15)有一个非零解x（t)=（φ1（t)，φ2（t)，…，φn（t))T，其中φn（t)≠0．证明（5.15)经变换（i=1，2，…，n-1)，