试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：设x1（t)，x2（t)分别是方程组 ① ② 的解，则x（t)=x1（t)+x2（t)是方程

试证非齐次线性微分方程组的叠加原理：

设x₁(t)，x₂(t)分别是方程组

x'=A(t)x+f₁(t)，x'=A(t)x+f₂(t)

的解．则x₁(t)+x₂(t)是方程组

x'=A(t)x+f₁(t)+f₂(t)

的解．

假设m不是矩阵A的特征值．试证非齐次线性微分方程组

x'=Ax+ce^mt

有一解形如x(t)=pe^mt，其中c，p是常数向量．

设有常系数齐次线性微分方程组,A为二阶常数矩阵,记p=-trA,q=detA,设p²+q²≠0,试证

(1)当p＞0且q＞0时,零解渐近稳定;

(2)当p＞0且q=0;或p=0且q＞0时,零解渐近稳定;

(3)其它情形下零解都不稳定.

若X(t)是齐次线性微分方程组，x∈Rⁿ的任一基解矩阵，B是任一n阶非奇异常数矩阵，证明X(t)B也是此方程组的一个基解矩阵。

证明：若是齐次线性微分方程组满足x(t₀)=0的解，则必有x(t)=0。

证明:非齐次线性微分方程组的任意两个解之差必为对应齐次线性微分方程组的一个解.

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，向量η₁,…,η_n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为

x=k₁η₁+…+k_n-r+1η_n-r+1

其中k₁+…+k_n-r+1=1

设齐次线性微分方程组连续,证明:零解稳定的充要提它的一个基解矩阵有界.

设有n阶齐次线性微分方程

试利用它对应的一阶线性微分方程组的Liouville公式(习题7.2(B)第4题)导出此方程的Liouville公式:

其中W(t)是方程式的Wronsky行列式.