设X1,X2,...,Xn是一列内积空间,令当{xn},{yn}∈X时,规定a{xn}+p{yn}={axn,+βyn}，其中a,β是数,证明:X是内积空间,又当Xn都是Hilbert空间时,证明X也是Hilbert空间.

设f(x)，g(x)∈C¹[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构成内积。

设u₁，u₂，…，u_n…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x₁，x₂…，x_n，…}的全体：

∑_n=1^∞‖x_n‖²＜∞

在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义

(x,y)=∑_n=1^∞(x_n，y_n)，

这里x={x₁，x₂，…，x_n…}，y={y₁，y₂，…，y_n…}，证明：U是一个内积空间；若所有u₀都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。

设是内积空间，则x⊥y的充分必要条件是对任何数α有‖x+αy‖≥‖x-αy‖

设X是n维线性空间,{e1,e2,...,en}是X的一组基,证明＜x,y＞成为X上内积的充要条件是存在nXn正定方阵A=（a_uv),使得

设A为n阶实方阵，在欧氏空间Rⁿ(其内积为Rⁿ的标准内积)中证明：〈x，Ay〉=〈A^Tx，y〉，.

设X是内积空间,X*是它的共轭空间fz表示X上线性泛函fz（x)=＜x,z＞,若X*到X*的映射是一一到上的映射,则X是Hilbert空间.

设X是内积空间,X*是它的共轭空间fz表示X上线性泛函fz(x)=＜x,z＞,若X*到X*的映射是一一到上的映射,则X是Hilbert空间.