设M与N是内积空间X中的两个子集,证明:

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式（x，x)_A=（Ax，x)为的一个内

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式(x，x)_A=(Ax，x)为的一个内积(称为A内积)。

设是希尔伯特空间，M是的子集，证明：(M^⊥)^⊥是包含M的最小闭子空间。

设A为n阶实方阵，在欧氏空间Rⁿ(其内积为Rⁿ的标准内积)中证明：〈x，Ay〉=〈A^Tx，y〉，.

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

一正交变换使的充分必要条件为

设A为度量空间（X,p)的子集,证明:（1)x∈i（A)当且仅当p（x,一A) ＞0.（2)x∈b（A)当且仅当p（x,A) = 0并且p（x，-A) = 0.

设f(x)，g(x)是数域P上两个不全为零的多项式。令

证明：存在m(x)∈S，使

设f(x)，g(x)∈C¹[a，b]，定义，问是否为内积？令空间若将f，g限制在子空间中，上述是否构成内积。