设A为n阶实方阵，在欧氏空间Rn（其内积为Rn的标准内积)中证明：〈x，Ay〉=〈ATx，y〉，.

设A=(a_ij)是一个n级正定矩阵，而在Rⁿ中定义内积(α，β)为(α，β)=αAβ'。

1)证明：在这个定义之下，Rⁿ成一欧氏空间;

2)求单位向量(0，0，..，1)的度量矩阵;

3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

A.欧氏空间的同构就是空间之间的双射能保持线性运算和内积不变

B.欧氏空间的同构具有反身性、对称性和传递性

C.任何n维欧氏空间V都和n维实向量空间Rn同构

D.有限维欧氏空间维数相等时一定同构

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式(x，x)_A=(Ax，x)为的一个内积(称为A内积)。

设V为由全部2阶实方阵所构成的线性空间，对于任意A∈V，定义：P(A)=其中A^T表示转置矩阵。

(1)证明：P为线性变换。

(2)求P在基下的矩阵。

设a₁,a₂, …,a_n是n维欧氏空间Rⁿ的一组基，证明:若Rⁿ中向量β₁,β₂满足

在闭区间[a，b]上所有全体实连续函数构成的线性空间C[a，b]，对任意f(x)，g(x)∈C[a，b]，证明二元实函数∫baf(x)g(x)dx为C[a，b]上的内积，从而C[a，b]为一个欧氏空间．