题目
第5题
设V是数域F上一个有限维内积空间,配备了一个内积f,证明以下两条件等价:
(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。
满足上述条件的内积叫作非退化的。
第6题
设f(x),g(x)∈C1[a,b],定义,问是否为内积?令空间若将f,g限制在子空间中,上述是否构成内积。
第7题
设A为任意的n阶实对称正定矩阵,为n维实向量空间,对,试证明定义式(x,x)A=(Ax,x)为的一个内积(称为A内积)。
第9题
设A为n阶实方阵,在欧氏空间Rn(其内积为Rn的标准内积)中证明:〈x,Ay〉=〈ATx,y〉,.
第10题
设是欧氏空间V的一个变换。证明:如果保持内积不变,即对于α,β∈V,,那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
第11题
设u1,u2,…,un…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x1,x2…,xn,…}的全体:
∑n=1∞‖xn‖2<∞
在u中适当地定义线性运算并对x,y∈u定义
(x,y)=∑n=1∞(xn,yn),
这里x={x1,x2,…,xn…},y={y1,y2,…,yn…},证明:U是一个内积空间;若所有u0都是希尔伯特空间,则u也是希尔伯特空间。
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