设X是n维线性空间,{e1,e2,...,en}是X的一组基,证明＜x,y＞成为X上内积的充要条件是存在nXn正定方阵A=(a_uv),使得

设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，

(α_ij)(i，j=1，2，…，n)

是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义

(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j， (*)

则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使(*)成立。

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式(x，x)_A=(Ax，x)为的一个内积(称为A内积)。

设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何，当时有．

（1)f（x_v)=a_v,v=1,2,..,h,（2)||f||≤M

线性

设X是赋范线性空间x₁,x₂,...,x_k,是X中h个线性无关向量,a₁,a₂,...,a_k,是一组数,证明:在X上存在满足下列条件:

(1)f(x_v)=a_v,v=1,2,..,h,(2)||f||≤M

线性边疆泛函f的充要条件为:对任何数t₁,t₂,...,t_k,

若X是无穷维赋范空间，证明以下结论：

(a)存在单的不连续的线性映射F：X→X

(b)存在X上不连续的线性泛函。

(d)对任意的赋范空间Y≠{0}，存在不连续的线性映射F：X→Y

设A为n阶实方阵，在欧氏空间Rⁿ(其内积为Rⁿ的标准内积)中证明：〈x，Ay〉=〈A^Tx，y〉，.

设X是区间[a，b]上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x∈X定义‖x‖=|x(t)|；证明‖·‖与‖·‖₁是X上两个不等价的范数．