题目
设X,Y都是Banach空间,T:X→Y为线性算子.证明:T有界的充要条件是对任何,当时有.
第1题
设X和Y都是Banach空间。证明乘积空间X×Y,赋有范数
‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖, (x,y)∈X×Y,
是Banach空间。
第2题
设X和Y是两个Banach空间,T:X→Y是有界线性算子,若T(X)不是第一纲的,证明T(X)=Y.
第3题
设其中X是Banach空间,Y是赋范线性空间,若对每个x∈X,{Tnx}都收敛,令证明T是X到Y中有界线性算子,并且
第5题
设X是自反Banach空间,,又设对任意{xn}X当时有Txn→Tx(n→∞),证明T是紧算子.
第6题
第7题
设X是赋范空间,Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X,Y),赋有范数
‖F‖=sup{‖F(x)‖:x∈X,‖x‖≤1}, F∈BL(X,Y)
是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。
第8题
设X和Y是Banach空间,
求证:存在常数c>0,使得||Ax||≥c||x||对一切x∈X成立的充要条件是分别表示A的零空间和值域.
第9题
设A为Banach空间X上的有界线性算子,λ0∈p(A),又设{An}为X上y一列有界线性算子,且证明当n充分大后,An也以λ0为正则点.
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