设A为Banach空间X上的有界线性算子,λ₀∈p(A),又设{An}为X上y一列有界线性算子,且证明当n充分大后,An也以λ₀为正则点.

设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何，当时有．

设X和Y是两个Banach空间，T：X→Y是有界线性算子，若T(X)不是第一纲的，证明T(X)=Y．

设A，B是希尔伯特空间上的线性算子，满足

(Ax，y)=(x，By)，

其中，则A，B均有界。

设{α_n}是有界数列，在l中定义算子T:x→y，其中

x={ξ_n}， y={α_nξ_n}

证明T是紧算子的充分必要条件是{α_n}→0

设X是自反Banach空间，，又设对任意{x_n}X当时有Tx_n→Tx(n→∞)，证明T是紧算子．

设α(·)是定义在[a，b]上的函数。令

(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a，b])，

则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。

设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数

‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

设有c[0，1]上的算子序列{L)，其中(兀x)(f)=x(fH÷)，则{L}按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子，但不按一致算子拓扑收敛于该算子。

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，

证明 下列命题等价：

(1)P是投影算子；

(2)P²=P且P是自共伴算子；

(3)P²=P，且N(P)上R(P)；

(4)若H是复空间，则还等价于

(Px，x)=‖Px‖²，x∈H

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是对称线性算子，则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且