设T是Hilbert空间H上的线性算子且对所有x，y∈H有〈Tx，y〉=〈x，Ty〉．证明T是有界算子．

设T是Hilbert空间H上的有界线性算子，‖T‖≤1．证明：

{x：Tx=x}={x：T^*x=x}．

设T是复Hilbert空间H上的有界线性算子，证明T=-T^*的充要条件是对一切x∈H，Re〈Tx，x〉=0．

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，且Re〈x，Tx〉≥0(x∈D(T))．证明T是可闭的．

证明：设H是复Hilbert空间，T：D(T)H→H是稠定线性算子，则T是对称的当且仅当对任意x∈D(T)，〈Tx，x〉是实的，

设T是从Banach空间X到Banach空间Y的有界线性算子，且TX=Y(满射)．证明：

设E是Hilbert空间H的线性子空间，T是E上的有界线性算子，证明在H上存在一个有界线性算子使得在E⊥与T相等并且‖‖≤‖T‖

设H是Hilbert空间，T:D(T)H→H是对称算子，且T是正的，即对任意x∈D(T)，有(Tx，x)≥0．证明：

设T为有界线性算子，且‖T‖≤1，证明

{x:Tx=x}={x:T^*x=x}