设X和Y是两个Banach空间，T：X→Y是有界线性算子，若T（X)不是第一纲的，证明T（X)=Y．

设其中X是Banach空间,Y是赋范线性空间,若对每个x∈X,{T_nx}都收敛,令证明T是X到Y中有界线性算子,并且

设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何，当时有．

设X是自反的Banach空间．证明有界线性算子T：X→l¹是紧算子，

设X是自反Banach空间，，又设对任意{x_n}X当时有Tx_n→Tx(n→∞)，证明T是紧算子．

设X在两个范数‖·‖₁和‖·‖₂下均为Banach空间。证明若存在α＞0使得对每个x∈X有|x‖₁≤α‖x‖₂，则存在β＞0使得对每个x∈x有‖x‖₂≤β‖x‖₁，即‖·‖₁和‖·‖₂等价。

设X和Y都是Banach空间。证明乘积空间X×Y，赋有范数

‖(x，y)‖=‖x‖+‖y‖， (x，y)∈X×Y，

是Banach空间。

设X和Y是Banach空间,

求证:存在常数c＞0,使得||Ax||≥c||x||对一切x∈X成立的充要条件是分别表示A的零空间和值域.

设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数

‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若

使得收敛.