设是内积空间，则x⊥y的充分必要条件是对任何数α有‖x＋αy‖≥‖x－αy‖

证明：

(1)设X是距离空间，，则A是闭集的充分必要条件是X\A为开集；

(2)距离空间中的闭集为可列个开集的交；

(3)距离空间中的开集为可列个闭集的并。

设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，

(α_ij)(i，j=1，2，…，n)

是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义

(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j， (*)

则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使(*)成立。

设u₁，u₂，…，u_n…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x₁，x₂…，x_n，…}的全体：

∑_n=1^∞‖x_n‖²＜∞

在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义

(x,y)=∑_n=1^∞(x_n，y_n)，

这里x={x₁，x₂，…，x_n…}，y={y₁，y₂，…，y_n…}，证明：U是一个内积空间；若所有u₀都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。

设f是定义在距离空间X上的实函数，证明f连续的充分必要条件是下列条件之一成立：

(1)对任何实数α，{x:f(x)＞α}及{x:f(x)＜α}均为开集；

(2)对任何实数α，{x:f(x)≥α)及{x:f(x)≤α}均为开集。

A.x-y= 1

B.x-y=-1

C.x=y

D.x= 2y