题目
设f是定义在距离空间X上的实函数,证明f连续的充分必要条件是下列条件之一成立:
(1)对任何实数α,{x:f(x)>α}及{x:f(x)<α}均为开集;
(2)对任何实数α,{x:f(x)≥α)及{x:f(x)≤α}均为开集。
第1题
设f(x,y)是定义在x2+y2≤1上且具有连续的偏导数的实函数,且在边界上函数值为零,
第2题
试证明:
设f(x)是E上正值可测函数,a>1,则af(x)在E上可积的充分必要条件是:.
第3题
设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
第4题
试证明:
设f(X)是I=[0,1]上的非负可测函数,则f(x)在I上可积的充分必要条件是:
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