设V=K⁴,如下定义V的二元函数f:f(α,β)=x₁y₁+x₂y₂-x₃y₃-x₄y≇

设R是实数集,定义函数如下:,有

试问:

(1)这4个函数是R上的二元运算的有多少个？.

(2)可交换的二元运算有多少个？

(3)可结合的二元运算有多少个？

(4)有单位元的二元运算有多少个？

设(u,v)为二元可微函数,则=().

设V[a，b]为定义在[a，b]上的有界变差函数的全体，其线性运算与C[a，b]的相同。在V[a，b]中定义范数如下：

证明：V[a,b]按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。

设R是实数集，定义函数f₁，f₂，f₃，f₄如下：任给x，y∈R，有

试问：

(1)这四个函数中，R上的二元运算有多少个？

(2)可交换的二元运算有多少个？

(3)可结合的二元运算有多少个？

(4)有单位元素的二元运算有多少个？

设A={x|x∈R∧x≠0，1}。在A上定义6个函数如下：

V=＜S，°＞，其中S={f₁，f₂，...，f₆}，°为函数的复合.。

(1)给出V的运算表。

(2)说明V的幺元和所有可逆元素的逆元：

设,证明是格,其中二元运算V,⋀定义为对,有

设一元函数f(x)在[a,b]上可积，。 定义二元函数

上的双线性函数:

(1)f(α,β)=2x₁y₁+x₁y₂-3x₂y₁+x₂y₂

(2)f(α,β)=(x₁-y₂)²+x₂y₁

(3)f(α,β)=c，c∈K

(4)f(α,β)=(2x₁+x₂-3x₃)(y₁-y₂+y₃)

设Z为整数集，在Z上定义二元运算如下：。问：Z关于运算能否构成群？为什么？

设二元函数则=().