设A∈M_m(K),V=M_m,_n(K)，定义V上的二元函数f如下:f(X,Y)=Tr(X^TAY)，X,Y∈V(1)证明:f是V上的一个双线性函数(2)求f在基E₁₁,E₁₂,...,E_1n,…,E_m1,…,E_mn

设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？

设f是n维欧氏空间V上的反称双线性函数

证明:存在规范正交基使f关于这个基的度量炬阵具有如下分块矩阵的形式:

上的双线性函数:

(1)f(α,β)=2x₁y₁+x₁y₂-3x₂y₁+x₂y₂

(2)f(α,β)=(x₁-y₂)²+x₂y₁

(3)f(α,β)=c，c∈K

(4)f(α,β)=(2x₁+x₂-3x₃)(y₁-y₂+y₃)

设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令

证明:(1)W^⊥是V的线性子空间

(2)如果W∩W^⊥={0},则V=W⊕W^⊥

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设f(α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*(β)=f(α，β)，β∈V。

试证：1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε₁，...，ε_n，有V的唯一的一组基ε₁'，...，ε_n'使f(ε_i，ε_j')=δ_ij;

3)如果V是复数域上n维线性空间，则有一组基η₁，...，η_n，使η_i=η_i'，i=1，...，n。

设f(α，β)是V上对称的或反称的双线性函数，α，β是V中两个向量，如果(α，β)=0，则称α，β正交。K是V的一个子空间，令试证，如果。

设V是区间[-1,1]上全体连续实函数所组成的线性空间，证明:

是V上的一个线性函数