题目
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第1题
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
第2题
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
第3题
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第6题
设V是复数域上的n维线性空间,T1,T2是V上的线性变换,且T1T2=T2,T1,证明: (1)如果λ0是T1的特征值,则Vλ0是T2的不变子空间; (2)T1,T2至少有一个公共的特征向量.
第7题
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
第8题
设(γ1,γ2,...,γn)是n维向量空间V的一个基。
并且α1,α2,···,αn线性无关。又设σ是V的一个线性变换,使得σ(αj)=βj,j=1,2,...,n。求σ关于基γ1,γ2,...,γn的矩阵。
第9题
设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:
1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。
第10题
是n维线性空间V上的线性变换,证明:
1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项式是d(λ);
2)设的最高次的不变因子是d(λ),则的最小多项式是d(λ)。
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