题目
第2题
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
第4题
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
第5题
设V是复数域上的n维线性空间,T1,T2是V上的线性变换,且T1T2=T2,T1,证明: (1)如果λ0是T1的特征值,则Vλ0是T2的不变子空间; (2)T1,T2至少有一个公共的特征向量.
第6题
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第7题
设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,α2,...αn),
(1)证明{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}是V的一组基:
(2)若a∈V在基{α1,α2,...αn}下的坐标为(n,n-1,...,2,1),求α在基{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}下的坐标
第8题
设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但证明:线性无关(k>1)
第10题
数域K上n阶矩阵全体Mn(K)组成线性空间V,定义V上的变换:φ(x)=AXB,其中A,B是两个n阶矩阵.证明:
(1)φ是V上的线性变换.
(2)φ是线性同构的充要条件是A,B都是可逆的.
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