设V是复数域上的n维线性空间，T1，T2是V上的线性变换，且T1T2=T2，T1，证明： （1)如果λ0是T1的特

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

设f(α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*(β)=f(α，β)，β∈V。

试证：1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε₁，...，ε_n，有V的唯一的一组基ε₁'，...，ε_n'使f(ε_i，ε_j')=δ_ij;

3)如果V是复数域上n维线性空间，则有一组基η₁，...，η_n，使η_i=η_i'，i=1，...，n。

设n维线性空间V可分解成子空间M，N的直和：，有惟一的分解式α=α₁+α₂(α₁∈M，α₂∈N).定义映射：T：V→M为T(α)=α₁，称T为由V到子空间M(关于直和分解式)的投影变换.说明：

(1) T为线性变换；

(2) T²=T；

(3) 若M≠N，则T不可逆；

(4) 若T₁为由V到子空间N的投影变换，则TT₁=T₁T=0.

设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ^-1的不变子空间.