题目
设f是n维欧氏空间V上的反称双线性函数
证明:存在规范正交基使f关于这个基的度量炬阵具有如下分块矩阵的形式:
第1题
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
第2题
设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。
试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;
2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;
3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηi=ηi',i=1,...,n。
第5题
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
第6题
设{α1,α2,···,αn}和{β1,β2,···,βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明:存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,...,n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),···,τ(αn)所生成的子空间与由β2,···,βn所生成的子空间重合。
第7题
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第8题
第9题
设f(α,β)是V上对称的或反称的双线性函数,α,β是V中两个向量,如果(α,β)=0,则称α,β正交。K是V的一个子空间,令试证,如果。
第10题
第11题
设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.
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