设R是实数集,定义函数如下: ,有试问:（1)这4个函数是R上的二元运算的有多少个？.（2)可

设R是实数集，定义函数f₁，f₂，f₃，f₄如下：任给x，y∈R，有

试问：

(1)这四个函数中，R上的二元运算有多少个？

(2)可交换的二元运算有多少个？

(3)可结合的二元运算有多少个？

(4)有单位元素的二元运算有多少个？

R为实数集，定义以下六个函数有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算.

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换。可结合，幂等的.

(3)求所有R上二元运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元.

R为实数集，定义以下6个函数f₁，f₂，…f₆。x，y∈R有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算。

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换、可结合、幂等的。

(3)求所有R上二元运算的单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

R为实数集，定义以下6个函数f₁，f₂，...，f₆，x，y∈R有

那么，其中有个是R上的二元运算，有个是可交换的，个是可结合的，个是有幺元

的，个是有零元的。

设f₁，f₂，f₃，f₄为实数集R到R的函数，且

在R上定义二元关系E_i，则E_i是R上的等价关系，称为f_i导出的等价关系，求商集R/E_i，i=1，2，3，4。

R为实数集,定义以下6个函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆,对任意x,y∈R有

y|.请指出哪些函数是二元运算,哪些函数是可交换的,哪些函数是可结合的,关于哪些函数有幺元,关于哪些函数有零元,关于哪些函数有逆元.

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ(x)=x²+2x+1,τ:R→R,r(x)=x/2.

(1)求τ○σ,σ○τ.

(2)对于τ、σ中的双射函数求反函数.

设在实数集R上有运算“*”定义如下：

a*b=a+b+2ab．

(1)(R，*)是代数系统吗？

(2)(R，*)是半群吗？

(3)(R，*)有单位元素吗？如有“，”单位元素是什么？

设在实数集R上有运算*定义如下：

a*b=a+b+2ab

设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为

〈x₁，y₁〉+〈x₂，y₂〉=〈x₁+x₂，y₁+y₂〉．

又设H={(x，y)|y=2x}，证明：(G，+)为阿贝尔群，(H，+)为子群，并求(x₀，y₀)H，(x₀，y₀)∈G．