试证明下列函数满足拉普拉斯方程： （1)φ（x,y,z)=sinαxsinβye－γz（γ2=α2＋β2) （2)φ（ρ，φ，z)=ρ－ncosnφ （3)φ（r，

试证明下列函数满足拉普拉斯方程：

(1)φ(x,y,z)=sinαxsinβye^-γz(γ²=α²+β²)

(2)φ(ρ，φ，z)=ρ^-ncosnφ

(3)φ(r，θ，φ)=r cosθ

设函数u=f(r)，在r＞0内满足拉普拉斯(Laplace)方程

其中f(r)二阶可导，且f(1)=f'(1)=1． 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程，并求f(r)．

证明：若函数u=f(x，y)满足拉普拉斯方程

,

则函数也满足此方程.

验证下列函数满足拉普拉斯方程uxx＋uxy＝0： (1)u＝arctanx／y； (2)u＝sinx×coshy＋cosx×sinhy； (3)u＝e-xcosy－e-ycosx．

下章将要证明:在任何区城D内解析函数f(z)一定有任意阶导数。由此证明，

(1)f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程，

(2)在D内,

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内有界(f(t)|≤M)且连续、证明:函数

在上半平面(y＞0)内满足拉普拉斯方程

和边界条件

设函数在r＞0内满足拉普拉斯(Iaplace)方程

其中f(r)二阶可导，且f(1)=f'(1)=1，求f(r).(提示：将所给的拉普拉斯方程化成以r为自变量的常微分方程)

设在r＞0内满足拉普拉斯方程其中f(r)二阶可导，且f(1)=f’(1)=1,试将该方程化为以r为自变量的常微分方程，并求f(r).

证明:函数都是拉普拉斯方程的解,其中a与b是常数.

A.引力位是一个在无穷远处的正则函数

B.引力位函数对任意方向的导数等于引力在该方向上的分力

C.质体引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程

D.质体引力位在质体内部满足泊松方程