验证下列函数满足拉普拉斯方程uxx＋uxy＝0： （1)u＝arctanx／y； （2)u＝sinx×coshy＋cosx×sinhy；

若函数u=u(x，y)满足拉普拉斯方程

也满足这个方程。

证明：若函数u=f(x，y)满足拉普拉斯方程

,

则函数也满足此方程.

设函数u=f(r)，在r＞0内满足拉普拉斯(Laplace)方程

其中f(r)二阶可导，且f(1)=f'(1)=1． 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程，并求f(r)．

证明：对任何满足条件

(1)的非退化变量代换：x=φ(u，v),y=ψ(u，v)，拉普拉斯方程形式不变．

求所有这样一些α＞0，使得在区域

内的拉普拉斯方程狄利克雷问题满足不等式

|u(x，y)|≤M(1+x²+y²)α的解u(x，y)唯一，其中M＞0为常数．

设函数u₁=u₁(x，y，z)与u₂=u₂(x，y，z)均满足拉普拉斯方程△u=0．试证明函数v=u₁(x，y，z)+(x²+y²+z²)u₂(x，y，z)满足方程△(△v)=0．

设随机变量X～U(0，π)，试求Y＝sinX的概率密度函数．