设H为Hilbert空间，{xn}为H的正交序列。求证：∑xn在H中收敛当且仅当∑‖xn‖2﹤∞

设H为可分Hilbert空间，求证：

(a)H的每一标准正交集必为可数的。

(b)H有Schauder基。

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a)

(b)

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设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:

(1)F为完全规范正交系;

(2)E=H;

(3)对任意x∈H,有

(4)对任意x,y∈H,有

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证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是对称线性算子，则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且

设X1,X2,...,Xn是一列内积空间,令

当{xn},{yn}∈X时,规定a{xn}+p{yn}={axn,+βyn}，其中a,β是数,

证明:X是内积空间,又当Xn都是Hilbert空间时,证明X也是Hilbert空间.