设H为Hilbert空间。求证H'也为Hilbert空间且H为自反的。

Riesz表示定理说明对每一个x'∈H'，存在唯一的y∈H使得‖y‖=‖x'‖且
x'(x)=＜x，y＞， x∈H
这个y就是x'的表示T(x')。因此‖T(x')‖=‖x'‖且
x'(x)=＜x，T(x')＞，x∈H， x'∈H'
若x'，y'∈H'，则任取x∈H，
＜x，T(kx'+y')＞=(kx'+y')(x)
=kx'(x)+y'(x)
=k＜x，T(x')＞+＜x，T(y')＞

这证明了
(5)
对于x'，y'∈H'，令
＜x'，y'＞=＜T(y')，T(x')＞ (6)
利用(5)式得
＜kx'+y'，z'＞=＜T(z')，T(kx'+y')＞

=k＜T(z')，T(x'))+＜T(z')，T(y')＞
=k＜x'，z'＞+＜y'，z'＞
显然有
，
＜x'，x'＞=＜T(x')，T(x')＞=‖T(x')‖²=‖x'‖²
因此(6)式定义了H'上的一个内积且这个内积在H'导出的范数与H'上原范数一致。又由于赋范空间X的对偶空间总是完备的，所以H'为完备的，从而H'为Hilbert空间。
设f∈H"，由H'为Hilbert空间及Riesz表示定理，存在唯一的y'∈H'使得‖y'‖=‖f‖且
f(x')=＜x'，y'＞，x'∈H'
设T(y')=y∈H，则任取x'∈H'，
f(x')=＜x'，y'＞=＜T(y')，T(x')＞=＜y，T(x')＞=x'(y)=(Jy)(x')，
其中J：H→H"为典范映射。因此f=J(y)。这就完成了证明。