令S是P^nxn中所有形如XY-YX的矩阵生成的线性子空间，又设H为P^nxn中迹为零的矩阵组成的空间，求证S=H，因而维（S)=维（H)=n²-1。

设A∈P^nxn。

1)证明：全体与A可交换的矩阵组成P^nxn的一子空间，记作C(A);

2)当A=E时，求C(A);

3)当

时，求C(A)的维数和一组基。

求下列线性空间的一组基与维数.

1)p^nxn中全体对称(反对称，上三角)矩阵对矩阵的加法，矩阵与数的乘法:

2)全体正实数R+={a∈Ra＞o)加法与纯量积定义为

3)A∈R^nxn,C(A)为所有与

的可换的n阶方阵集，对矩阵的加法及矩阵与数的乘法:

4)

令M_n(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令

证明：S和T都是M_n(F)的子空间，并且M_n(F)=S+T，S∩T={O}。

设H为可分Hilbert空间，求证：

(a)H的每一标准正交集必为可数的。

(b)H有Schauder基。

设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵．试证明：AB与BA的特征值实部为零． (2)设A是n(n＞1)阶正定矩阵．α是非零列向量，且α∈Rn．令B=AααT，求B的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基．