设H是内积空间，E是H的线性子空间．证明如果对于每一个x∈H，它在E上的正交投影存在，则E必是闭线性子空间．

设H≠{θ}是Hilbert空间，E是H的闭线性子空间，f是H上的一个非零连续线性泛函．证明E={x：f(x)=0}当且仅当E^⊥是维数为1的线性空间．

设E是Hilbert空间H的线性子空间，T是E上的有界线性算子，证明在H上存在一个有界线性算子使得在E⊥与T相等并且‖‖≤‖T‖

设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，P_Y，P_M分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：

设X为Banach空间，G，H为X的闭线性子空间，且G∩H={θ}．证明是闭线性子空间的充要条件是M＞0，x∈G，y∈H有‖x‖≤M‖x+y‖．

H为Hilbert空间，E为H的闭线性子空间，x₀∈H．证明

min{‖x-x₀‖：x∈E}=max{|＜x₀，y＞|:y∈E^⊥，‖y‖=1}．

设E是Hilbert空间H的线性子空间，f是E上的有界线性泛函．证明f有且只有一个到H上的保范延拓，使得这个延拓在E^⊥上为零．

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，

证明 下列命题等价：

(1)P是投影算子；

(2)P²=P且P是自共伴算子；

(3)P²=P，且N(P)上R(P)；

(4)若H是复空间，则还等价于

(Px，x)=‖Px‖²，x∈H

设X是内积空间，且对每个闭线性子空间Y有Y=Y^⊥⊥．证明X是Hilbert空间．