设xOy平面上随机点的坐标（X，Y)服从二维正态分布，概率密度为 ,-∞﹤x﹤+∞;-∞﹤y﹤+∞ 求随机点（X，Y)到原点距离的

设随机变量X与Y相互独立，且均服从N(0，1)，将(X，Y)看作平面上随机点P的直角坐标，求证：点P的极坐标(R，θ)也相互独立．

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(0，1)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)．试求L的方程。

在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)． (1)求l的方程； (2)当l与直线y＝ax所围成平面图形的面积

时，确定a的值．

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的闭区域为D={(x，y)|x²+y²-xy≤75}，小山的高度函数为h=f(x，y)=75-x²-y²+xy.

(1)设M(x₀，y₀)∈D，问f(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若把此方向导数的最大值记为g(x₀，y₀)，试写出g(x₀，y₀)的表达式．

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点．也就是说，要在D的边界线x²+y2-xy=75上找出(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀岩起点的位置．

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． (1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式． (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．

如图所示，在xOy平面上倒扣着半径为R的半球面，在半球面上电荷均匀分布．其电荷面密度为σ．A点的坐标为(0，R/2)，B点的坐标为(3R/2，0)，求电势差u_AB。