粒子作一维自由运动，设t=0时初始波函数为 其中φ（k)为任意给定的函数。试证明：在足够长时间以后，波函数取

质量为m的粒子作一维自由运动，波函数ψ(x，t)．以各时刻位置x的涨落△x作为波包的有效半宽，作为波包中心．已知t=0时=x₀，△x=a，=p₀，△p=mu，并设t=0时波包宽度为各时刻的最小值．求t＞0时波包中心(t)及有效半宽△x．

设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包

(1)证明初始时刻，

(2)计算t时刻的波函数

对于一维自由粒子

(a)设波函数为，试用算符对运算，验证

说明动量本征态量能量本征态，能量本征值为

(b)设粒子在初始(t=0)时刻，

(c)设波函数为可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态？

(d)设粒子在t=0时刻

中(t=0时)的每一点找到粒子的概率相同.

(a)求出初始波函数(x,0)(假设它为实数,并且不要忘记归一化).

(b)测量能量得到值为π²h²/2ma²的概率是多少？

一维谐振子，t=0时给定初始波函数

求ψ(x，t)，并描述其主要运动特征．

设质量为m的一维自由粒子的初态为，求t时刻的波函数ψ(x，t)．

设一维自由粒子的初态为ψ(x，0)=δ(x)，求t时刻的波函数ψ(x，t)以及|ψ(x，t)|²．已知如下积分公式．

，或

一质量为m的粒子，可在宽为a无限深势阱当中自由运动，在t=0的初始时刻其波函数为

其中A为实常数

(1)求A使ψ(x，0)满足归一化条件。

(2)如果进行能量测量，则能得到哪些能量值？相应取这些能量值的概率又是多少？再计算能量的平均值？

(3)求t时刻的波函数ψ(x，t)。

在一维无限深方势阱中一个粒子的初始波丽数曲前两个定态组合而成:

(a)归一化ψ(x,0)(即求出A.如果用ψ1和ψ2的正交归一性计算会很简单.记住,在t=0时,归一化的波函数ψ在其他时间也是归一化的一如对此点有疑问,在做完(b)后验证一下.

(b)求ψ(x,t)和|ψ(x,t)|².像教材中的例题2.1一样,把后者用时间的正弦函数展开.为了简化结果,令w=π²h/2ma².

(c)计算＜x＞的值.注意它是随时间振荡的.角频率是多少？振幅是多少(如果你得到的振幅大于a/2,计算一定有错)？

(d)计算＜p＞的值..

(e)如果你测量粒子的能量,可能得到什么值？得到各个值的概率是多少？求出H的期望值.并与E1和E2比较.