设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包，其波函数为

设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包

(1)证明初始时刻，

(2)计算t时刻的波函数

对于一维粒子，试证明：使粒子坐标与动量不确定度之积△x·△p取最小值的波包必为Gauss型波包．

设质量为m的一维自由粒子的初态为，求t时刻的波函数ψ(x，t)．

设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，

式中

是的Fourier变换

设一维自由粒子的初态为ψ(x，0)=δ(x)，求t时刻的波函数ψ(x，t)以及|ψ(x，t)|²．已知如下积分公式．

，或

质量为m的粒子作一维自由运动，波函数ψ(x，t)．以各时刻位置x的涨落△x作为波包的有效半宽，作为波包中心．已知t=0时=x₀，△x=a，=p₀，△p=mu，并设t=0时波包宽度为各时刻的最小值．求t＞0时波包中心(t)及有效半宽△x．

一维自由粒子的初态为ψ(x，0)，证明在足够长时间后的波函数为

式中

是ψ(x，0)的Fourier变换．

对于一维自由粒子

(a)设波函数为，试用算符对运算，验证

说明动量本征态量能量本征态，能量本征值为

(b)设粒子在初始(t=0)时刻，

(c)设波函数为可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态？

(d)设粒子在t=0时刻

质量为m的粒子处于一维谐振子势中，在t=0时刻其初态分别为Ψ₁(x)=ψ₀(x)，Ψ₂(x)=ψ₁(x)，Ψ₃(x)=ψ₀(x)+iψ₁(x)，其中ψ₀、ψ₁分别为谐振子的归一化基态与第一激发态．试分别求在此后t＞0时刻(a)粒子的波函数；(b)位置期望值；(c)动量期望值．

设一维粒子的HaniltonianlI,坐标算符为x。利用利用能量木征态的完全性关系，将用和，表出，其中是能量本征值为，的本征矢。