题目
设一维粒子的HaniltonianlI,坐标算符为x。利用利用能量木征态的完全性关系,将用和,表出,其中是能量本征值为,的本征矢。
第1题
一质量为m,在一维势箱0<x<a中运动的粒子,其量子态为
(1)该量子态是否为能量算符的本征态?(2)对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何?(3)处于该量子态粒子能量的平均值为多少?
第2题
一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉,|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加,|α〉=.试证明:归一化的本征态|α〉可以表示为
其中|α〉称为谐振子的相干态.
第3题
电荷为q的谐振子,t<0和t>τ时处于自由振动状态,总能量算符为
(1)
能量本征态记为ψn,能级.当0≤t≤τ,外加均匀电场,总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn,本征值为En.
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0,求t>τ时的波函数ψ(x,t),以及ψ(x,t)中各能量本征态ψn的成分.
第6题
设一维自由粒子的初态为ψ(x,0)=δ(x),求t时刻的波函数ψ(x,t)以及|ψ(x,t)|2.已知如下积分公式.
,或
第7题
一维谐振子,其能量算符为
(1)
设此谐振子受到微扰作用
(2)
试求各能级的微扰修正(三级近似),并和精确解比较.
第9题
设粒子处于无限深方势阱中,粒子波函数为,A为归一化常数,设粒子处于基态(n=1),设t=0时刻阱宽突然变为2a,粒子波函数来不及改变,即
试问:对于加宽了的无限深方势阱
是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值的概率。
第10题
设体系的Hamilton量H的本征方程H|n〉=En|n〉,En与n分别是能量本征值和本征态,n为一组完备的量子数,且态矢量|n〉已归一化,满足〈n|n〉=1.试证明:Hamilton算符可以表示为
第11题
设粒子处于二维无限深势阱
求粒子能量和相应的本征态.如a=b,试讨论前5条能级简并情况.
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