一维谐振子，t=0时给定初始波函数 求ψ（x，t)，并描述其主要运动特征．

设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为中其中为简谐振子的三个(n=0，1，2)最低能量的定态波函数，试求

(1)系数A=？

(2)t时刻的波函数φ(x， t)

(3)t时刻的能量平均值。

质量为m的粒子处于一维谐振子势中，在t=0时刻其初态分别为Ψ₁(x)=ψ₀(x)，Ψ₂(x)=ψ₁(x)，Ψ₃(x)=ψ₀(x)+iψ₁(x)，其中ψ₀、ψ₁分别为谐振子的归一化基态与第一激发态．试分别求在此后t＞0时刻(a)粒子的波函数；(b)位置期望值；(c)动量期望值．

粒子作一维自由运动，设t=0时初始波函数为

其中φ(k)为任意给定的函数。试证明：在足够长时间以后，波函数取下列极限形式：

并对|ψ(x，t)|²的极限形式作出合理解释．

设一维谐振子的初态为，即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。

(1)求t时刻的波函数。

(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

(3)求演化成所需的最短时间。

对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，λ为参数．试用变分法求基态能量，并与严格解比较．

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

质量为m的粒子作一维自由运动，波函数ψ(x，t)．以各时刻位置x的涨落△x作为波包的有效半宽，作为波包中心．已知t=0时=x₀，△x=a，=p₀，△p=mu，并设t=0时波包宽度为各时刻的最小值．求t＞0时波包中心(t)及有效半宽△x．

设一维谐振子初态为，即基态与第一激发态的叠加，其中θ为实参数．

(1)试计算t时刻的波函数ψ(x，t)；

在一维无限深方势阱中一个粒子的初始波丽数曲前两个定态组合而成:

(a)归一化ψ(x,0)(即求出A.如果用ψ1和ψ2的正交归一性计算会很简单.记住,在t=0时,归一化的波函数ψ在其他时间也是归一化的一如对此点有疑问,在做完(b)后验证一下.

(b)求ψ(x,t)和|ψ(x,t)|².像教材中的例题2.1一样,把后者用时间的正弦函数展开.为了简化结果,令w=π²h/2ma².

(c)计算＜x＞的值.注意它是随时间振荡的.角频率是多少？振幅是多少(如果你得到的振幅大于a/2,计算一定有错)？

(d)计算＜p＞的值..

(e)如果你测量粒子的能量,可能得到什么值？得到各个值的概率是多少？求出H的期望值.并与E1和E2比较.