题目
第1题
一雨滴的初始质量为m0,在重力作用下从静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量,其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速率的乘积,即,其中k为常数。若忽略空气阻力,试证明雨滴的速率最终成为恒量,并给出最终速率的表达式。
第2题
雨滴开始自由下落时质量为m0,在下落的过程中,单位时间凝聚的水汽质量为n,忽略空气阻力,求雨滴经时间t下落的距离。
第3题
如习题5-9图所示,质量为m0的两质点分别固定在x轴上的A(-a,0)、B(a,0)两点,若有一质点m在万有引力作用下从y=3a处由静止开始向原点运动。试求质点经过原点时的速度。
第4题
(1)开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值?
(2)用m,m0和θ表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比。
第5题
从地面发射一初始质量为m0的火箭,喷射的燃料相对火箭的速度为vr。
(1)若其燃料的每秒消耗量可调节,为使火箭在地面以上某个高度保持静止,求与时间t的函数关系。
(2)若其燃料的每秒消耗量正比于火箭的瞬时质量m,即,其中α为正常量。证明当时,火箭将以恒定加速度向上加速,并求出此加速度。
(3)若其燃料的每秒消耗量正比于m0,即,其中k为正常量。试求火箭在任一时刻t的速度。
(4)在(3)的情况下,若火箭本身的质量为m,试求火箭所能到达的最大高度(不计火箭燃料燃尽后的自由上抛过程)。设火箭到达最大高度时仍未脱离地球引力范围,并设此过程中重力加速度g为常量。
第6题
(1)子弹射入盘后,盘所获得的角速度;
(2)经过多少时间后,圆盘停止运动(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩;圆盘与水平间的摩擦因数为μ)
第7题
建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
(1)设卫星绕地球做匀速圆周运动,证明其速度为R为地球半径,r为卫星与地心距离,g为地球表面重力加速度,要把卫星送上离地面600km的轨道,火箭末速v应为多少?
(2)设火箭飞行中速度为v(t),质量为m(t),初速为0,初始质量m0,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u,忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明由此你认为要提高火箭的末速应采取什么措施。
(3)火箭质量包括3部分:有效载荷(卫星)mp,燃料mf;结构(外壳、燃料仓等)ms,其中ms在mf+ms中的比例记作λ,一般λ不小于10%。证明若mp=0(即火箭不带卫星),则燃料用完时火箭达到的最大速度为vm=-ulnλ。已知目前的u=3km/s,取λ=10%,求vm,这个结果说明什么?
(4)假设火箭燃料燃烧的同时,不断丢弃无用的结构部分,即结构质量与燃料质量以λ和1-λ的比例同时减少,用动量守恒原理证明问燃料用完时火箭末速为多少,与前面的结果有何不同?
(5)(4)是个理想化的模型,实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。记mi为第i级火箭质量(燃料和结构),λmi为结构质量(λ对各级是一样的)。有效载荷仍用mp表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构,同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变,比例系数为k。证明3级火箭的末速计算要使v3=10.5km/s,发射1t重的卫星需要多重的火箭(u,λ用以前的数据)?若用2级或4级火箭,结果如何?由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。
第8题
第9题
第10题
第11题
A.40%
B.30%
C.20%
D.10%
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