对于一维谐振子，求消灭算符口的本征态，将其表示成各能量本征态|n〉的线性叠加．

一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉=．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为

其中|α〉称为谐振子的相干态．

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

对于一维自由粒子

(a)设波函数为，试用算符对运算，验证

说明动量本征态量能量本征态，能量本征值为

(b)设粒子在初始(t=0)时刻，

(c)设波函数为可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态？

(d)设粒子在t=0时刻

对于描述电子自旋的泡利矩阵的

(1)在表象中求的归一化本征函数。

(2)若为某一方向余弦，证明算符的本征值为±1，说明其物理意义。

(3)对于两个电子组成的体系，若用分别表示单电子自旋平方和自旋z分量的共同本征态，证明态矢量是体系总自旋平方的本征态。

从谐振子升、降算符的基本对易关系

[a，a⁺]=1 (1)

出发，证明

(2)

(λ为参数)对于λ＞0，计算

进而讨论算符a⁺a的本征值谱．

设一维粒子的HaniltonianlI,坐标算符为x。利用利用能量木征态的完全性关系，将用和，表出，其中是能量本征值为，的本征矢。

一维谐振子，其能量算符为

(1)

设此谐振子受到微扰作用

(2)

试求各能级的微扰修正(三级近似)，并和精确解比较．

一质量为m，在一维势箱0＜x＜a中运动的粒子，其量子态为

(1)该量子态是否为能量算符的本征态？(2)对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？(3)处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

假设一维谐振子(质量m，频率ω)受到驱动力F(t)=mω²f(t)，这里f(t)是某一具体的函数(因子mω²是为了标记方便，f(t)具有长度量纲)。其哈密顿量是

假设在t=0时开始施加力的作用：f(t)=0(t≤0)。这个体系无论用经典力学还是量子力学都可以精确求解。

(a)求谐振子的经典位置，假设它在原点从静止开始运动

(b)假设谐振子开始时处在非受迫谐振子的第n本征态(Ψ(x，0)=ψ_n(x)，其中ψ_n(x)由式2.61给出)。证明这个谐振子(含时)薛定谔方程的解可以写成如下形式

(c)证明H(t)的本征值和本征函数是

(d)指出在绝热近似下经典位置变为对本题，作为对f导数的限制，指出绝热近似成立的精确判据。

(e)对于这个例子验证绝热定理，利用(c)和(d)的结果证明

验证动力学相位具有正确的形式(式10.39)。几何相位具有你所期望的形式吗？