某个二能级体系的哈密顿量为这里|1＞,|2＞是正交归一基,是量纲为能量的一个实数.求出它的本征值

有一个二能级体系，Hamilton量记为H₀，能级和能量本征态记为E1，

求t＞0时体系处于态的概率。

有一个二能级体系，Hamilton量记为H₀，能级和能量本征态记为E₁，E₂；ψ₁，ψ₂．设E₁＜E₂．t≤0时，体系处于状态ψ₁，t≥0时，体系受到微扰H'作用，设

H'₁₁=α，H'₂₂=β，H'₁₂=H'₂₁=γ

求t＞0时体系处于ψ₂态的概率．

某一个二能级微观体系，其力学量A与H(H不含时)不对易，A有本征值为a₁、a₂，相应的本征态分别为

，

其中u₁、u₂为H的本征态，相应的本征值分别为E₁、E₂．若t=0时系统初态处于χ₁，试求A在t时刻的平均值〈A(t)〉．

考虑由三个自旋1/2的可分辨粒子组成的体系，Hamilton量为

H=A(s₁·s₂+s₂·s₃+s₃·s₁) (A为实数) (1)

(a)求体系的能级和简并度；

(b)找一个守恒量完全集，求出其共同本征函数，从而得到一组正交完备的能量本征函数．

量为E_b)和ψ_b.(能量为E_b).它们是正交归一的并且非简并(假设E_a＜E_b).现在我们引人一个微扰H^,具有下列矩阵元.

其中h是一个常数(不是普朗克常数).

(a)求微扰哈密顿量的严格本征值.

(b)用二次微扰理论估算微扰系统的能量.

(c)用变分原理估算微扰系统的基态能量,取以下试探波函数

其中为可调参数.注意:这种线性组合是保证ψ归一化的一种简便方法.

(d)对比你的(a),(b)和(e)为什么在这种情况下,变分原理得到的结果这么准确？.

两个全同粒子处于一维谐振子中，分别下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数。

(a) 单粒子自旋为0;

(b) 单粒子自旋为1 /2;

(c) 如果两个粒子之间还有相互作用(γ为正实数)，讨论上述(a)和(b)两种情况下能级发生的变动，画出能级图。

一体系未受微扰作用时只有三个能级：, 现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为a,b和c都是实数，用微扰公式求能量至二级修正。

设一体系未受微扰作用时有两个能级:E₀₁及E₀₂，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

考虑耦合谐振子

(a)求出H₀的本征值及能级简并度;

(b)以第一激发态为例，用简并微扰论计算H'对能级的影响(一级近似);

(c)严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。

设粒子处于二维无限深势阱中

求粒子的能量本征值和本征波函数．如a=b，能级的简并度如何？

已知某微观体系的力学量A有两个归一一化本征态ψ₁、ψ₂，相应的本征值为a₁、a₂．力学量B有两个归一化本征态、，相应的本征值为b₁、b₂．两种本征态有如下关系：

，

当对某个态|ψ〉测量A得到a₁后，若再测量B，接着再测A，试求第二次测A得到a₁的几率．