题目
设A是I2上线性算子,记
其中证明A是全连续的.
第1题
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足
(Ax,y)=(x,By),
其中,则A,B均有界。
第4题
证明:设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是对称线性算子,则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且
第5题
设X,Y都是Banach空间,T:X→Y为线性算子.证明:T有界的充要条件是对任何,当时有.
第6题
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子,
证明 下列命题等价:
(1)P是投影算子;
(2)P2=P且P是自共伴算子;
(3)P2=P,且N(P)上R(P);
(4)若H是复空间,则还等价于
(Px,x)=‖Px‖2,x∈H
第7题
设X和Y是两个Banach空间,T:X→Y是有界线性算子,若T(X)不是第一纲的,证明T(X)=Y.
第9题
设α(·)是定义在[a,b]上的函数。令
(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a,b]),
则T是由C[a,b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a,b]上连续。
第10题
设f为R上连续函数.常数c>0,记
证明F(x)在R上连续.
第11题
设H(p)是线性时不变系统的传输算子,且系统起始状态为零,试证明[H(p)δ(t)]e-αt=H(p+α)δ(t)。
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