用Mathematica命令绘制第4激发态简谐振子能量本征函数及其对应的概率密度的图像。

一维简谐振子的波函数为

(1)求证：波函数满足一维简谐振子的薛定谔方程(15-68);

(2)确定波函数中的b值和简谐振子的能量;

(3)与这一能量对应的是基态还是第一激发态？

设非简谐振子的Hamilton量表示为

用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)。

设非简谐振子的Hamilton量表为H=H₀+H'，而H₀和H'如下给出

(β为实常数量)

用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)．

二维各向同性谐振子，势能为

μ为粒子质量。(a)在直角坐标系(x，y)中写出能级和能量本征函数，讨论本征态的宁称和简并度;(b)在平面极坐标系(ρ，φ)中求能级和能量本征函数。

电荷为q的自由谐振子，能量算符为

能量本征函数记为，能级记为。如外加均匀电场，使振子额外受力，从而总能量算符变成新的能级记为，本征函数记为。求，并将用表示出来。

电荷为q的谐振子，能量算符为

(1)

能量本征函数记为ψ_n(x)，能级记为．如外加均匀电场，使振子额外受力f=q，从而总能量算符变成

(2)

新的能级记为E_n，本征函数记为φ_n(x)．求E_n和φ_n，并将φ_n用ψ_n表示出来．

(a)将习题7.2推广,取如下试探波函数

(b)求简谐振子第一激发态能鼠最小上限,取试探波函数为

(c)注意到当n→∞时上限值趋于准确能量.为什么会这样？提示:对n=2,n=3和n=4的试探波函数分别作图,并将它们与真实波函数作对比.由等式

开始分析.

设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为中其中为简谐振子的三个(n=0，1，2)最低能量的定态波函数，试求

(1)系数A=？

(2)t时刻的波函数φ(x， t)

(3)t时刻的能量平均值。

试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。