(a)将习题7.2推广,取如下试探波函数(b)求简谐振子第一激发态能鼠最小上限,取试探波函数为(c)

对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，λ为参数．试用变分法求基态能量，并与严格解比较．

取为试探波函数，应用变分原理估算粒子在磁场中的基态能量以上表达式中均为常数，且

粒子在势场V(x) =g|x|中运动，其中g＞0，试用变分法求基态能级的上限，试探波函数可取作)。

设一维谐振子的初态为，即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。

(1)求t时刻的波函数。

(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

(3)求演化成所需的最短时间。

设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为中其中为简谐振子的三个(n=0，1，2)最低能量的定态波函数，试求

(1)系数A=？

(2)t时刻的波函数φ(x， t)

(3)t时刻的能量平均值。

设一维谐振子初态为，即基态与第一激发态的叠加，其中θ为实参数．

(1)试计算t时刻的波函数ψ(x，t)；

使用高斯型试探波函数求氢基态能量的最低上限值,

其中A由归一化确定;b是可调参数.

试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

考虑三维各向同性谐振子(习题4.38).设微扰为

讨论下面两种情况的(一级)微扰效应:

(a)基态.

(b)第一激发态(三重简并).利用习题2.12和习题3.33的结果.

粒子作一维自由运动，设t=0时初始波函数为

其中φ(k)为任意给定的函数。试证明：在足够长时间以后，波函数取下列极限形式：

并对|ψ(x，t)|²的极限形式作出合理解释．

定则如何预测氦原子激发态的情况？

(b)洪德第二定则告诉我们:当自旋给定时,总轨道角量子数(L)取最大值,且整体波函数具有反对称性的态,将具有最低的能量.为什么碳原子不可能有L=2？提示:“梯子最顶端”(ML=L)空间波函数是对称的.

(c)洪德第三定则告诉我们:如果子壳层(n,)填充不到半满,则能显最低态满足:J=|L-S|;如果填充超过一-半,则J=L+S态能量最低.应用这个定则解决硼的不确定性问题(即习题5.12(b)).

(d)应用洪德定则以及对称自旋态必须配之空间位置反对称态(反之亦然)这个结论解决碳原子和氮原子的不确定性问题(即习题5.12(b)).提示:爬到“梯子的顶端”总.可以得到一个对称态.