一维谐振子的Hamilton算符为 （1) x与p满足基本对易式 [x，p]=xp－px=ih （2) 引入无量纲算符 ， （3)

(1)利用基本对易式(2)，容易算出
(5)
(6)
利用式(6)，可以进一步求出
[a，a⁺a]=[a，a⁺]a=a (7)
[a⁺，a⁺a]=a⁺[a⁺，a]=-a⁺ (8)$(2)根据定义式(4)，可得


(9)
因此，Hamilton算符可以写成
(10)
对于任何态矢量|〉，均有
〈ψ|a⁺a|ψ〉=|a|ψ〉|²≥0 (11)
因此

如ψ为能量本征态，则〈H〉=E(能量本征值)，上式即
(12)
此式规定了能级的下限．
由式(7)及(10)，可得
[a，H]=[a，a⁺a]hω=ahω
亦即
a(H-hω)=Ha (13)
将算符关系(13)作用于任何一个能量本征态矢量|E'〉(E'为相应的能量本征值)，得到
Ha|E'〉=a(H-hω)|E'〉-(E'-hω)a|E'〉 (14)
这结果表明，如a|E'〉≠0，它就是H的另一个本征态矢量，本征值为(E'-hω)．重复这个推理过程，易知
E'，E'-hω，E'-2hω，…
都是能量本征值．但是，由于E≥hω/2，这个数列必须终止于某个最小值E₀，即(E₀-hω)不再是能量本征值．其条件为
a|E₀〉=0 (15)
因此，利用式(10)即得

亦即
E₀=hω/2 (16)
这就是基态能量．
类似地，由式(8)及(10)，可得
Ha⁺=a⁺(H+hω) (17)
因此
Ha⁺|E'〉=(E'+hω)a⁺|E'〉 (18)
即a⁺|E'〉也是H的本征态矢量，本征值为(E'+hω)．重复这个推理过程，可知
E'，E'+hω，E'+2hω，… (19)
都是能量本征值．利用式(6)，H可以写成

将此式作用于|E'〉，由于E'≥hω/2，因此a⁺|E〉不可能等于0．由此可知数列(19)没有上限．
综合以上分析，可知全部能级为
(20)
相应的本征态矢量记为|n〉，在x表象中波函数记为ψ_n(x)，并规定它们都是归一化的．一维束缚态是不简并的，各本征态矢量互相正交，正交归一化条件可以表示成
(21)
各ψ_n(x)为实函数，．
由本征方程

以及H的表示式(10)，即得
(22)
因此，常称a⁺a为量子数算符，并记为
a⁺a= (23)
在二次量子化理论中，也称粒子数算符．$(3)上述推导能级的过程中，已经证明算符a、a⁺对于能量本征态的作用结果是
a|n〉=λ(n)|n-1〉
a⁺|n〉=ν(n)|n+1〉 (24)
λ、ν为待定系数．上式的共轭方程是
〈n|a⁺=λ^*(n)〈n-1|
〈n|a=ν^*(n)〈n+1| (24')
式(24')和(24)相乘(取内积)，并利用式(22)以及式(6)，即得
λ^*λ=〈n|a⁺a|n〉=n
ν^*ν=〈n|aa⁺|n〉=〈n|(a⁺a+1)|n〉=n+1
适当选择态矢量|n〉的相因子(e^iα)，总可使各λ和ν为非负实数，因此
， (25)
即
(26)
由此可知，在能量表象中，a和a⁺唯一不等于0的矩阵兀是
(27)

亦即
(28)

利用式(4)，可将Q、P表示成a、a⁺，
， (29)
由式(26)，易得
(30)
(31)
不等于0的矩阵元为
(32)

类似地，x、p也可表示成a、a⁺，
(33)

由式(26)，得到
(34)
(35)
将它们写成波函数的形式，就是
(34')
(35')
x、p的不等于0的矩阵元为

(36)
注意
p_n+1，n=imωx_{n+1,n} (37)
p_n，n+1=-imωx_n，n+1
式(26)反映了算符a⁺和a的主要性质，因此常将a⁺和a分别称为量子数升、降算符．在二次量子化理论中，则将a⁺和a分别称为产生、消灭算符．