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证明：域F的分式域就是自身．

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因为F是域故对F中任意元素a≠0b有

因为F是域,故对F中任意元素a≠0,b有

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第1题

证明：域F的分式域就是自身．

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第2题

设V是数域F上一个一维向量空间。证明V到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是：对于任意ξ∈V，都有σ（ξ)=aξ，这里a是F中一个定数。

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第3题

设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射。W₁，W₂是V的子空间，并且V=W₁⊕W₂。证明：σ有逆映射的充要条件是V=σ（W₁)⊕σ（W₂)。

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第4题

令M_n（F)表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间。取定A∈M_n（F)，对任意X∈M_n（F)，定义σ（X)=AX-XA。（i)证明：σ是M_n（F)是自身的线性映射；（ii)证明：对于任意X，Y∈M_n（F)，σ（XY)=σ（X)Y+Xσ（Y)。

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第5题

设p是一个素数.证明:是一个整环，并求其分式域

设p是一个素数.证明:

设p是一个素数.证明:是一个整环，并求其分式域设p是一个素数.证明:是一个整环，并求其分式域请帮忙给

是一个整环，并求其分式域

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第6题

令σ是一个n次置换。设A=（a_ij)是数域F上一个nxn矩阵，定义就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑≇

令σ是一个n次置换。

令σ是一个n次置换。设A=（aij)是数域F上一个nxn矩阵，定义就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令

设A=(a_ij)是数域F上一个nxn矩阵，定义

令σ是一个n次置换。设A=（aij)是数域F上一个nxn矩阵，定义就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令

就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑_n={σ(I)|σ∈S_n}，其中I是nxn单位矩阵。证明∑_n作成GL(n，F)的一个与S_n同构的子群。

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第7题

设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η₁,…,η_n为V的基f₁,…,f_n为η₁,…,η_n

设设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K 为数域K上n维线性空间V的线性变换，η₁,…,η_n为V的基f₁,…,f_n为η₁,…,η_n的对偶基

(1)证明:对V的任一线性函数f,f 设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K 仍是V的线性函数

(2)定义V*到自身的映射设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K *为:

设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K

证明: 设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K *是V*的线性变换

(3)如设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn设为数域K 在基η₁,…,η_n下的矩阵是A,试求*在基f₁,…,fn下的矩阵

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第8题

证明，一个域F是它自己的商域.

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第9题

设F是一个域证明:

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

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第10题

详细证明，定理3中α在域F上的极小多项式是p（x)

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第11题

证明，有理数城F上多项式x⁴+1的分裂域是一个单扩域F（a)，其中a是x⁴+1的一个根。

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