试证明： 设有集合A，B，E，F． （）若A∪B=F∪E,令A 1 =A∩E，A 2 =A∩F，则A 1 ∪A 2 =A.

试证明：

设有集合A，B，E，F．

(i)若A∪B=F∪E,且，，则A=E且B=F．

(ii)若A∪B=F∪E,令A₁=A∩E，A₂=A∩F，则A₁∪A₂=A.

设有集合A与二元运算“*”，试证明下列4个中哪些为代数系统。

(1)A=R，a*b=ab：

(2)A={1，2，…，8)，a*b=lcm(a，b)；

(3)A={1，-1，2，3，-3，4，5)，a*b=|b|；

(4)A=Z，a*b=|a-b|．

试证明：

不存在集合E，使得其幂集为可列集．

试证明：

设，则集合

E={x=(x₁,x₂，…，x_n，…):x_n∈E_n(n∈N)}

之基数也是c．

试证明：

设集合．若对任意的x∈E，存在开球B(x，δ_x)，使得m(E∩B(x，δ_x))=0，则m(E)=0．

设有f：[a，b]→R¹，若对于[a，b]中任一可测集E，f(E)必为R¹中的可测集，试证明：对于[a，b]中任一零测集Z，必有m(f(Z))=0．

设有一向量集合

是一个非零向量.

证明:对于任意

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！