设A为可逆矩阵，证明ATA为正定矩阵．

设Ax=b，其中A∈R^n×n为非奇异阵，证明：

(a)A^TA为对称正定矩阵；

(b)cond(A^TA)₂=[cond(A)₂]².

设α为n维单位列向量，k为实数，H=E-kαα^T。（1)证明H为实对称阵;（2)证明α为H的特征向量，并求相应特征值;（3)k为何值时，H为正交矩阵;（4)k为何值时，H为可逆矩阵;（5)k为何值时，H为正定矩阵。

设A为nXm实矩阵，且r（A)^-m（1)ATA为m阶正定矩阵; （2)AAT为n阶半正定矩阵。