设A和B是两个n阶实对称矩阵，且A为正定矩阵，证明存在可逆矩阵P，使P^TAP与P^TBP均为对角矩阵。

设A和B都是n阶Hermite矩阵，且B为正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得P^HAP和P^HBP都是对角矩阵．

设A=(a_ij)是一个n阶正定实对称矩阵。证明当且仅当A是对角矩阵时，等号成立。

设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P^-1AP和P^-1BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA.

设A为实对称矩阵，且证明：A是正定矩阵。

设A，A-E均为n阶正定矩阵.证明：E-A^-1为正定矩阵.

设实对称矩阵

(1)分别写出以A，A^-1为系数矩阵的二次型;(2)求A，A^-1的特征值;(3)判断A是否为正定矩阵; (4) 求一个正交矩阵P， 使P^TAP为对角矩阵。

(1)设A、C分别为阶实对称矩阵，B是实矩阵，

是正定矩阵(实)。证明:

等号当且仅当B=0时成立.

(2)设是n阶实矩阵，

求证:

A.存在两个可逆矩阵P与Q，使PAQ=B

B.存在可逆矩阵P，使A=P^-1BP

C.存在可逆矩阵P，使P^TAP=B

D.R(A)=R(B)