设函数u（x，y，z)及矢量A=P（x，y，z)i+Q（x，y，z)j+R（x，y，z)k的三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明

设函数u（x，y，z)及矢量A=P（x，y，z)i+Q（x，y，z)j+R（x，y，z)k的三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明（1)rot（grad u)=0;（2)div（rot A)=0，

设函数u=F（x,y,z)在条件φ（x,y,z)=0和ψ（x,y,z)=0下,在点P₀（x₀,y₀,z₀)处取得极值m.证明曲面F（x,y,z)=m;p（x,y,z)=0和ψ（x,y,z)=O在点P0的法线共面其中函数F,p及ψ均有连续的且不同时为零的一阶偏导数.

设u=f(x,y,z) ,y=p(x,t) ,t=ψ(x,z) ,其中函数f、φ、ψ都可微,求

设u=u(x，y，z)，A=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k．其中函数u，P，Q，R均有一阶连续偏导数，证明

(1)div(uA)=udiv A+grad u·A；

(2)rot(uA)=urot A+grad u×A．

设P(u,v)具有连续偏导数,a、b、c为常数,而方程确定隐函数z=z(x,y),且求

设二元实函数u（x,y)是在0< |z|< p（< +∞)内的有界调和函数.试证:适当定义u（0,0)后,u（x,y)是在|z|< p内的调和函数.

设u=u（x，y，z)，A=P（x，y，z)i+Q（x，y，z)j+R（x，y，z)k。其中函数u，P，Q，R均有一阶连续偏导数，证明（1)div（uA)=udiv A+grad u •A;（2)rot（uA)=urot A+grad u xA。

设函数z＝f(u)，方程u＝ψ(u)＋∫yx(f)df确定“是x，y的函数，其中f(u)，ψ(u)可微；p(t)，ψ(u)连续，且ψ(u)≠1．求

．

设z=f（u),方程确定u是x,y的函数，其中.f（u),φ（u)可微，P（t),φ'（u)连续，且φ'（u)=1,求

设z=f(u),方程确定u是x,y的函数，其中.f(u),φ(u)可微，P(t),φ'(u)连续，且φ'(u)=1,求

设u＝f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数y＝y(x)及z＝z(x)分别由下列两式确定：exy－xy＝2和