设A,B是两个集合,f是A到B的映射,证明的一个子格,其中

设σ是集合A到集合B的一个映射．证明： 1)σ是单射

存在B到A的映射τ，使τσ=1A； 2)σ是满射

存在B到A的映射τ，使στ=1B．其中1A，1B分别为集合A，B的恒等映射．

设A、B是两个集合，若存在一个从A到B上的一一映射f，则称A与B等势(或有相同的基数)，记作AB.证明：区间[0，1]与区间[a，b]等势，其中a、b∈R.

设f和g都是群(G₁，★)到群(G₂，*)的同态映射，证明：(C，★)是(G₁，★)的一个子群，其中，C={x|x∈G₁，且f(x)=g(x)}．

设映射f:X→Y,A X,BX.证明

(1)(AB)=f(A)f(B);

(2)f(AB) f(A)f(B).

设(G，△)是一个群，而a∈G．如果f是从G到G的映射，使得对于每一个x∈G，都有f(x)=a△x△a^-1，证明：f是从G到G的自同构．

设f为从群(G₁，*)到群(G₂，△)的同态映射，证明：f为单射，当且仅当Ker(f)={e}．其中e是G₁中的单位元．

设＜ L, ≤＞是一个分配格，a b∈L且a ＜ b,证明是一个从L到S的同态映射。其中S={x|x∈L且a ≤x ≤b}。

设f是群G₁到G₂的同态映射，H是G₁的子群，证明f(H)是G₂的子群．

设φ是集合X到集合Y的任意一个映射，A与B分别为X与Y的非空子集．证明： 1)φ-1(φ(A))

，且当φ为单射时等号成立； 2)φ(φ-1(B))

，且当φ为满射时等号成立．