(1)设x为n维列向量,x^Tx=1,令H= E- 2xx^T ,证明H是对称的正交阵，(2)设A.B都是正交阵。证明AB也是正交阵.

证明：设A，B都是n阶正交方阵，则

(1)|A|=1或-1(2)A^T，A^-1，AB也是正交方阵。

(2) A正交方阵，得A^TA=E，由AA^T=E得AT正交方阵。又A^-1=A^T， 故A^-1正交方阵。A，B是n阶正交矩阵，故A^-1=A^T，B^-1=B^T。(AB)^T(AB) =B^TA^TAB=B^-1A^-1AB=E， 故AB也是正交方阵。

证明：如果A是正交阵，则cond(A)₂=1．

(1)设A是对称矩阵，λ和x(‖x‖₂=1)是A的一个特征值及相应的特征向量．又设P为一个正交阵，使

Px=e₁=(1，0，…，0)^T.证明B=PAP^T的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零．

(2)对于矩阵

λ=9是其特征值，是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px=e₁并计算B=PAP^T.