证明：如果A是正交阵，则cond（A)2=1．

设Ax=b，其中A∈R^n×n为非奇异阵，证明：

(a)A^TA为对称正定矩阵；

(b)cond(A^TA)₂=[cond(A)₂]².

（1)设x为n维列向量,x^Tx=1,令H= E- 2xx^T,证明H是对称的正交阵，（2)设A.B都是正交阵。证明AB也是正交阵.

若A为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（)。

A、A^-1

B、2A

C、A^2

D、A^T

欧氏空间V中的线性变换称为反称的，如果对任意，α，β∈V，证明：

1)为反称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反称的;

2)如果V₁是反称线性变换的不变子空间，则也是。

设两个函数U（t)和v（t)，如果则称u（t)和v（t)在区间（a，b)上是正交的。如果另外有则称这两个函数是

设两个函数U(t)和v(t)，如果

则称u(t)和v(t)在区间(a，b)上是正交的。如果另外有

则称这两个函数是归一化的。因此称这两个函数为归一化正交。如果在一个函数集|Φk (t)|中，每一对函数都是正交(或归一化正交)的，则称这个函数集为正交(或归一化正交)函数集。

(a)考虑图3-19所示的各对信号u(t)和v(t)，判定每一对信号是否在区间(0，4)上正交;

(b) 函数sinmω0 t和sin nω0t， 在区间(0， T) 上是正交的吗？这里T=2π/ω0 。它们也是归一化正交的吗？

(c)对函数Φm(t)和中Φn(t)，重做(b)，其中

(d)证明函数集中Φk(t)=e^jkω0t：在任何长度为T=2π/ω0，的区间上都是正交的。它们也是归一化正交的吗？

(e)设x(t)是一个任意信号，x0(t)和xe(t)分别是x(t)的奇部和偶部。证明对任何T，x0(t)和xe(r)在区间(—T，T)上是正交的。

(f)证明：如果|Φk(t) |是区间(a，b)上的正交信号集，则信号集| (/jAk) Φk(r)是归一化正交的，其中

(g)设|Φi(t) |是区间(a，b)的归一化正交信号集，考虑如下形式的信号：

其中ai为复常数。证明：

(h)假设声中，Φ1 (t)，…，ΦN(t)中，(t)仅在时间区间0≤t≤T上是非零的，而且它们在此时间区间上是归一化正交的。令L1为一个线性时不变系统，其单位冲激响应为

证明：若将Φ1 (t)加到该系统上，则当i=j时，在时刻T，系统的输出为1;当i≠j时，在时刻T，系统的输出为0.单位冲激响应由式(P3.65-2)给出的系统在习题2.66和习题2.67中称为信号Φ1(t)的匹配滤波器。

设α为n维单位列向量，k为实数，H=E-kαα^T。（1)证明H为实对称阵;（2)证明α为H的特征向量，并求相应特征值;（3)k为何值时，H为正交矩阵;（4)k为何值时，H为可逆矩阵;（5)k为何值时，H为正定矩阵。