证明:实系数多项式f(x)可表为两个实系数多项式的平方和的充分必要条件是对任何的实数a,都有f(a)≥0

设其中

(1)证明A的全体实系数多项式,对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.

(2)求这个线性空间的维数及一组基

设实系数n次多项式

此一切根均为实数，证明其逐阶导数.

也仅有实根.

如果多项式的系数是实数，证明：P(z)=

如果多项式的系数是实数，证明：P(z)=

设 R[t]为t的实系数多项式的集合,为t的n次实系数多项式的集合.定义函数f:R[t]→R[t],f(g(t))=g²(t).求f(R₀[1]).f^-1({t²+2t+1}).f^-1(f({t-1,t²-1})).

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e为整系数4次多项式，令r₁，r₂，r₃，r₄是它的根，已知r₁+r₂为有理数，r₁+r₂≠r₃+r₄。证明：f(x)可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P^-1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.

证明：线性方程组

对任何b₁，b₂，...，b_n都有解的充分必要条件是系数行列式|a_ij|≠0。