设 其中 (1)证明A的全体实系数多项式,对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;

2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;

3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;

5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

7)集合与加法同6)，数量乘法定义为

8)全体正实数R⁺，加法与数量乘法定义为

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

判定全体正实数R⁺，对下列指定的运算是否构成R上的线性空间．加法和数量乘法定义为

其中α，β∈R⁺，k∈R．

判定全体正实数R⁺，对下列指定的运算是否构成R上的线性空间．加法和数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺，k∈R．

(1)设A.B分别是数城K上的矩阵，证明:

(2) 设A，8分别是实数域上n阶矩阵.证明:矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变.

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

(1)φ是V上的线性变换．

(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．

有界数列全体构成的集合

按照通常数列的加法和数与数列的乘法构成线性空间

证明(1)关系式

定义了l^∞上的一个范数，从而l^∞构成一个赋范线性空间(称为有界数列空间)；(2)在l^∞中点列按范数收敛等价于按坐标的一致收敛。

设是整系数多项式，证明:若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.

设f(x)是[a,b]上的连续函数，证明存在有理系数的多项式P(x),使得其中ε是预先给定的任意正数.

设

为一实数域上的矩阵，证明：

1)如果，那么|A|≠0;

2)如果，那么|A|＞0。